Трудно предположить, что когда-нибудь в бухгалтерском учете понадобятся действия с мнимой единицей. Тем не менее, ничто не мешает нам с помощью средств встроенного языка реализовать операции с комплексными числами.
Хранить число мы будем в двумерном массиве, в одной ячейке - вещественную часть, в другой - мнимую. Вот и первая функция, которая применяется для создания числа указанного вида.
Function zNumber(Re,Im) Export
arr=new array();
arr.Add(Re);
arr.Add(Im);
return arr;
EndFunction
В качестве аргументов мы передаем значения вещественной и мнимой части и функция возвращает нам заполненный массив. Теперь реализуем умножение комплексных чисел.
Function zMult(a,b) Export
arr=new array();
arr.Add(a[0]*b[0]-a[1]*b[1]);
arr.Add(a[0]*b[1]+a[1]*b[0]);
return arr;
EndFunction
Аргументы функции - два комплексных числа, возвращаемое значение двумерный массив. Следующая функция позволяет возвести комплексное число в целую степень.
Function zPower(z,p) Export
if p=0 then
arr=new array;
arr.Add(1);
arr.Add(0);
return arr;
endif;
if p=1 then
return z;
endif;
if (p%2)=0 then
t=zPower(z,p/2);
return zMult(t,t);
endif;
return zMult(zPower(z,p-1),z);
EndFunction
В приведенном коде мы пытаемся сократить требуемое количество операций умножения, заменяя четные степени возведением в квадрат. А вот еще одна элементарная функция, которая возвращает число сопряженное данному.
Function zConjugate(z) Export
arr=new array();
arr.Add(z[0]);
arr.Add(-z[1]);
return arr;
EndFunction
Теперь с помощью этого небольшого набора решим задачу нахождения представления числа в виде суммы квадратов.
Вспомним, что согласно основной теореме арифметики любое число можно выразить в виде произведения степеней простых чисел. Представление для простого числа состоит из самого простого числа. Пример простых чисел - 2,3,5,7,11,13... А вот число 65 - составное и оно равно произведению 5 и 13. Оказывается, что греческий математик Диофант, живший в III веке нашей эры, знал, что 65 это минимальное натуральное число, которое можно представить в виде суммы квадратов двумя различными способами
- 65=1*1+8*8
- 65=4*4+7*7
Впрочем, греки знали пифагоровы тройки и подобные наблюдения вполне ожидаемы. Интереснее другое, Диофант объяснял подобное свойство числа 65 тем, что оно есть произведение двух чисел 5 и 13, которые в свою очередь, тоже можно выразить как сумму квадратов.Оказывается, среди простых чисел в виде суммы квадратов можно записать только числа вида 4*k+1. В частности:
- 5 =1*1+2*2
- 13=2*2+3*3
Настал момент вспомнить про комплексные числа. Если число можно записать как сумму квадратов, то оно раскладывается на комплексные множители, так 5=(2+i)(2-i), a 13=(3+2i)(3-2i). Группируя комплексные множители в разложении числа 65 различными способами, мы получим два разложения на сумму квадратов. А как нам перебрать все возможные комбинации ? Предлагается следующее решение. Если в разложение входит степень двойки, то она заменяется степенью комплексного числа(1+i), если в разложение входят степени простых чисел вида 4*k+3, то эти степени объединяются в одно число Q, которое записывается в виде (Q+0*i), если в разложение входит степень простого числа вида Z=4*k+1, то оно заменяется массивом комплексных чисел (Z**i)*(Zсопряженное**(p-i)), где i меняется от 0 до p (p - степень данного простого числа в разложении)..
Приведем код функций, которые нам понадобятся для приведенного алгоритма.
Function zGenerateVar(z,p) Export
arr=new array;
zCon=zConjugate(z);
arr.Add(zPower(z,p));
for i=1 to (p-1) do
arr.Add(zMult(zPower(z,i),zPower(zCon,p-i)));
enddo;
arr.Add(zPower(zCon,p));
return arr;
EndFunction
Функция РазложитьНаПростыеМножители(вхЧисло,ПростыеЧисла)
тЧисло=новый ОписаниеТипов("Число",,,новый КвалификаторыЧисла(19,0));
разложение=новый ТаблицаЗначений;
разложение.Колонки.Добавить("Множитель",тЧисло);
разложение.Колонки.Добавить("Степень",тЧисло);
если ПростыеЧисла.Найти(вхЧисло)<>Неопределено тогда
нСтр=разложение.Добавить();
нСтр.Множитель=вхЧисло;
нСтр.Степень=1;
возврат разложение;
конецесли;
Граница=(вхЧисло-вхЧисло%2)/2;
для каждого число из ПростыеЧисла цикл
если число > Граница тогда
прервать;
конецесли;
если вхЧисло%число=0 тогда
нСтр=разложение.Добавить();
нСтр.Множитель=число;
нСтр.Степень=1;
н=число*число;
пока вхЧисло%н=0 цикл
нСтр=разложение.Добавить();
нСтр.Множитель=число;
нСтр.Степень=1;
н=н*число;
конеццикла;
конецесли;
конеццикла;
разложение.Свернуть("Множитель","Степень");
возврат разложение;
КонецФункции
Функция zGenerateVar формирует массив комплексных чисел [(Z**i)*(Zсопряженное**(p-i))Предназначение функции РазложитьНаПростыеМножители понятно из ее названия. Аргументами функции является разлагаемое число и массив простых чисел, функция возвращает таблицу значений с колонками Множитель и Степень. Теперь проговорим необходимую последовательность действий.
Шаг 1. Подготовить таблицу простых чисел с коэффициентами разложения простого числа на сумму квадратов.
Шаг 2 Получим таблицу разложения исследуемого числа на множители.
Шаг 3. Сформируем массив, каждый элемент, которого - это тоже массив, содержащий варианты представления степени простого числа вида Z=4*k+1. Данное разложение нам возвращает функция zGenerateVar.
Шаг 4. С помощью рекуррентной функции получим все варианты представления числа как сумму двух квадратов.
Отметим, что представление числа в виде суммы квадратов возможно только тогда, когда в его разложении присутствуют простые числа вида 4*k+1, а простые числа вида 4*k+3 имеют четную степень, то есть входят в разложение, как полный квадрат. Никаких ограничений на наличие и степень двойки в каноническом представлении числа нет. Приведем фрагмент кода, который реализует второй и третий шаг нашего алгоритма.
Decompose=РазложитьНаПростыеМножители(i,PrimeNumber);
arr.Clear();
Q=1; test=0;
for each row in Decompose do
n=row.Множитель;
p=row.Степень;
if n=2 then
z=zNumber(1,1);
vc=new array;
vc.Add(zPower(z,p));
arr.Add(vc);
else
find=vt.Find(n,"N");
if find.a=0 then
if p%2=1 then
test=0;
break;
endif;
Q=Q*n;
for j=2 to p do
Q=Q*n;
enddo;
else
test=test+1;
z=zNumber(find.a,find.b);
arr.Add(zGenerateVar(z,p));
endif;
endif;
enddo;
Исследуемое число хранится в переменной i. В первой строке кода мы получаем разложение на простые множители. Затем в цикле обрабатываем таблицу с найденным разложением. Если после завершения цикла переменная test равна нулю, то данное число нельзя представить как сумму квадратов. Переменная Q хранит произведение степеней простых чисел 4*k+3. Массив arr содержит варианты разложения для остальных множителей канонического представления.
Теперь приведем код рекуррентной функции для получения вариантов разложения числа на сумму квадратов.
Function zSquare(arr,level,mult,Q)
if level = arr.Count() then
z=mult[0];
imax=arr.Count()-1;
for i=1 to imax do
z=zMult(z,mult[i]);
enddo;
z0=z[0]*z[0];
z1=z[1]*z[1];
if z0*z1>0 then
row=GaussPairs.Add();
if z0>z1 then
row.a=Q*z0;
row.b=Q*z1;
else
row.a=Q*z1;
row.b=Q*z0;
endif;
endif;
return true;
endif;
for each z in arr[level] do
mult[level]=z;
zSquare(arr,level+1,mult,Q);
enddo;
EndFunction
Аргументы функции это:
- массив с вариантами arr;
- переменная level говорит о том с каким элементом данного массива мы работаем на текущем шаге;
- mult - массив в нем мы собираем все множители разложения;
- назначение переменной Q мы объяснили в предыдущем абзаце.
Найдите целые числа x > y > z > 0 такие, что x + y, x - y, x + z, x -z, y + z, y-z все являются квадратами целых чисел.
Введем обозначения: 
Запишем следующие тождества:
x+y=(x+z)+(y-z)
x+y=(x-z)+(y+z)
отсюда получаем
Соотношение (x+y)+(z-y)=(x+z) можно переписать в виде
Теперь идея решения понятна. Ищем такие числа, квадрат которых имеет несколько представлений в виде суммы квадратов. Условию задачи будут удовлетворять те из них, для которых выполняется условие, что d^2-f^2 есть полный квадрат. Здесь можно скачать обработку, в которой реализован данный алгоритм. Обработка написана для управляемого приложения.
