Не озабочиваясь областью применения, предлагаю ознакомиться с прилагаемой Обработкой "Определитель матрицы".
Описание
Исходная матрица А порядка n задается естественным образом в виде квадратной таблицы элементов. Предусмотрена генерация случайных элементов с опциями: диапазон значений элементов, только неотрицательные, единичная матрица.
Матрицу можно выгрузить в формате Excel стандартным способом и загрузить обратно. (Я применял данную выгрузку для проверки правильности вычислений, загружая в пакет Mathematica.)
Расчет можно проводить двумя методами, для каждого из которых опционально рассмотрены 2 технических способа.
Предусмотрено сравнение результатов расчета.
Работа с матрицами ведется в формате временных таблиц структуры i,j,elem, где i,j - индексы элемента матрицы, elem - значение элемента. Начало данному представлению положено в статье Умножение матриц пакетным запросом.
Алгоритмы
I. Прямой метод.
Основной запрос, формируемый (n-1) раз в цикле, имеет вид
"ВЫБРАТЬ
| Таб1.iA Как iA, Таб1.jA Как jA, Таб2.i КАК i, Таб2.j КАК j, Таб2.elem КАК elem , Таб1.Произведение * Таб2.elem Как Произведение,
| Таб1.ПерестановкаИндексовСтрока + Таб1.jСтрока как ПерестановкаИндексовСтрока, Таб2.jСтрока как jСтрока,
| Выбор Когда Таб2.jНовый > Таб1.jНовый Тогда Таб2.jНовый-1 Иначе Таб2.jНовый Конец КАК jНовый,
| Выбор Когда ВЫРАЗИТЬ((Таб1.jНовый)/2 КАК ЧИСЛО(15, 0)) = (Таб1.jНовый)/2 Тогда -1 Иначе 1 Конец * Таб1.Знак как Знак
| Поместить Миноры
| ИЗ Миноры_Предок Как Таб1 Внутреннее соединение Миноры_Предок Как Таб2
| По Таб1.i = &i И Таб1.ПерестановкаИндексовСтрока = Таб2.ПерестановкаИндексовСтрока И Таб1.j <> Таб2.j И Таб1.i <> Таб2.i;"
Завершающий запрос, сумма произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
"Выбрать Выбор Когда ВЫРАЗИТЬ((Миноры.iA)/2 КАК ЧИСЛО(15, 0)) = (Миноры.iA)/2 Тогда -1 Иначе 1 Конец *
| Сумма(Миноры.Знак * Миноры.Произведение * Миноры0.elem ) Как Значение
| Поместить Определитель
| из Миноры как Миноры
| Левое соединение Миноры0 Как Миноры0 По Миноры.iA = Миноры0.iA И Миноры.jA = Миноры0.jA
| Сгруппировать по Миноры.iA"
В представленном коде соединение таблиц осуществляетя по строковому полю ПерестановкаИндексовСтрока, получаемому при помощи конкатенации строковых представлений индексов столбцов j: Таб1.ПерестановкаИндексовСтрока + Таб1.jСтрока.
Опционально можно заменить Соединение на другое, по числовому полю ( Таб1.ПерестановкаИндексов *10 + Таб1.j) как ПерестановкаИндексов. Но в этом случае вычисления ограничены 10-м порядком.
На самом деле, это некоторая комбинация прямого метода и метода разложения определителя по строке (с понижением порядка). Здесь можно задать начальную строку разложения исходной матрицы, что дает выделить алгебраические дополнения, соответствующие элементам этой строки.
Эффективность метода в интервале n < 11 (для матриц с единичными по модулю элементами; при увеличении модулей эффективный интервал уменьшается). Около этой границы начинаются тормоза и переполнение памяти. Видимо, это связано с тем, что количество слагаемых, входящих в определение детерминанта, равно факториалу порядка матрицы n!. То есть 10! = 3 628 800, 11! =39 916 800 и т.п. операций\строк.
II. Метод Гаусса.
Запрос не выношу в статью, поскольку слабо читаем.
К тому же, здесь не обошлось без применения менеджера временных таблиц и обработки результатов запросов.
Кому интересно - код обработки открыт.
Данный метод сводит исходную матрицу к треугольной и подсчитывает произведение диагональных элементов.
На самом деле в результате преобразований получается "почти треугольная матрица", которую можно сделать треугольной, проведя перестановку строк в конце процедуры, за одним подсчитав число инверсий этой перестановки. Нам нужно даже не число этих инверсий, а четность\нечетность этого числа. И все для того, чтобы сделать последнюю операцию - коррекцию знака определителя (+\-), так как произведение диагональных элементов уже подсчитано в процессе "диагонализации".
Метод нахождения инверсий дан в статье Инверсии перестановок.
Оба метода должны работать для матриц с любыми вещественными элементами. (Однако в обработке стоит ограничение только на целые числа.)
Для порядков более 12 подсчет становится проблематичным и для метода Гаусса из-за "ошибки переполнения", хотя и дает в некоторых случаях лучшие результаты по сравнению с прямым методом.
Для частного случая целочисленных элементов матрицы можно еще несколько улучшить результат, используя вынесение общего множителя элементов строки, с последующим домножением в конце итерации. Для этого каждый из элементов строки раскладывается в произведение простых делителей.
Метод нахождения простых делителей числа дан в статье Факторизация числа.
В этом случае становятся ощутимо доступны для вычисления еще несколько порядков. (Все выводы даются на основе статистики только по матрицам с элементами -1,0,1,; для больших величин результаты ухудшаются)
Благодаря этому становится возможным вычислить такие фантастические примеры как на нижепредставленном скрине, где n = 25, со временем вычисления 150 сек (105сек. в Версии 1.1). Однако, такие случаи редки.
Думаю, предложенные алгоритмы можно оптимизировать, улучшив показатели времени вычисления, читаемости кода и т.п. Однако, это дело времени и энтузиазма. А пока, кому интересно, прошу смотреть, эксперементировать, рационализировать!
Версия1.0.
Рассчет определителя матрицы А прямым способом и методом Гаусса.
Для случая целочисленных элементов матрицы в методе Гаусса предусмотрена факторизация, с целью избежать ошибок переполения при больших порядках матрицы\больших значениях исходных элементов.
Факторизация проводится частично только для элементов преобразованной на каждом шаге матрицы.
Версия1.1.
Добавлено сравнение результатов вычисления по методам Прямой - Гаусса, для отладки, с целью проверки правильности вычислений.
Факторизация в методе Гаусса проводится полностью для всех целых чисел, участвующих в вычислениях.
P.S.: Большой респект автору tezin за разработку консоли запросов //infostart.ru/public/72969/ , без которой бы данная работа не состоялась.
