[После] Новогодние задачи 2023

Публикация № 1780103 03.01.23

Разработка - Математика и алгоритмы

Александр Быков (Alxby)

Рейтинг: 944

Задачи загадки головоломки арифметика математика школа

–

Не желаете ли очередную порцию интересных задач?

Вот и прошел еще один год. Как и три года назад, настало время новогодних каникул, которое можно посвятить семье и своим личным делам.

Новый Год - детский праздник. Не хотите ли окунуться в школьные годы? когда самыми трудными в жизни задачами были те, которые печатались на последних страницах учебника по математике в главе "Задачи повышенной сложности"... Предлагаю вспомнить "все четыре действия арифметики, да еще с дробями (с)" (кто припомнит этого книжного героя?).

Я попытался собрать здесь самые интересные арифметические задачи, которые запомнились мне со школьной скамьи. Возможно, какие-то, а может и все, давно всем известны, но, может быть, среди них найдутся незнакомые. Для решения всех этих задач нужна только логика, начальные знания математики и здравый смысл. Поскольку мы уже не школьники, то для нас нет проблем решить все задачи "в уме". Решение некоторых из них элементарно.

Задача 1

Два туриста, Петя и Миша, поздно вечером в лесу разожгли костер, чтобы обогреться. Петя принес 5 поленьев, Миша - 3 полена. На свет костра вышел заблудившийся продрогший грибник Василий. Согревшись, Василий в благодарность предложил 8 крупных белых грибов-боровиков. Как должны поделить их между собой Петя и Миша?

Задача 2

Экспедитор Иван Митрофанович вез ценный груз - 10 тонн сочных огурцов из Луховиц в Ашхабад. На момент выезда огурцы содержали в себе 99% воды. По дороге через пустыню Каракумы огурцы подсохли, и после приезда на место назначения стали содержать 98% воды. Сколько стал весить весь груз и что сказал по этому поводу завскладом Худайберды?

Задача 3

Представим что планета Земля - гладкий шар, без возвышенностей и впадин. На этот шар втугую надет металлический обруч. Обруч разрезали, и вставили сегмент длиной 1 метр. За счет этого обруч равномерно приподнялся над поверхностью Земли. Сможет ли под него пролезть червячок Константин? а мышонок Иннокентий?

Задача 4

Маша и Витя нашли спрятанную родителями шоколадку. Шоколадка состоит из 24 долек (6 * 4). Дети решили ее разыграть: каждый по очереди ломает шоколад, так, чтобы в конце концов весь его разделить на дольки. Ломать на куски в любом порядке, можно отламывать куски по 6 долек или по 4, можно делить куски пополам, можно комбинировать разные способы, но за один раз ломать можно только один кусок. Кто делает последний разлом, тот забирает весь шоколад, все 24 дольки. Какая оптимальная стратегия в этой игре?

Задача 5

Добавьте к цифрам 1 1 9 9 знаки арифметических действий или скобки, так, чтобы в результате получить 10. Получилось? А теперь сделайте то же, но чтобы между каждой парой соседних цифр обязательно был какой-нибудь знак.

Задача 6

Антонина Павловна и Степанида Фоминична продавали яблоки. В начале дня у каждой было по 30 яблок. Первая продавщица хотела продавать 2 штуки за рубль (всего хотела заработать 15 рублей), а вторая - 3 штуки за 2 рубля (всего 20 рублей). Чтобы не тратить лишнего времени, договорились стоять за прилавком поочередно, при этом все яблоки сложить в одну корзину и продавать 5 штук по 3 рубля. Распродав все яблоки, они с удивлением обнаружили, что вместо 35 рублей заработали 36. Откуда появился лишний рубль и кому его отдать? А при каких ценах у них бы могла получиться меньшая сумма, чем рассчитывали?

Задача 7

Уже много лет дачник Семен Николаевич каждые выходные отправляется из города на дачу по одному и тому же пути. По дороге на дачу он сначала едет в гору, потом по ровному месту, потом с горы. Дорога с дачи - аналогична. По ровному месту автомобиль едет со скоростью 120 км/ч, в гору - 100 км/ч, с горы - 150 км/ч. Дорога на дачу занимает 3 часа, дорога с дачи - 3,5 часа. Как далеко от города находится дача?

Задача 8

Настенька съедает торт за 15 минут, а ее старший брат Сережа-молодец!(с) - за 10 минут. За сколько они съедят этот торт вдвоем?

Задача 9

Для благоустройства детского парка из питомника были получены саженцы берез. Сначала их хотели посадить 10 рядами по 10 штук в ряду, но их не хватило. Если сажать по 9 штук в ряду, последний ряд будет неполным. Если сажать по 8 штук в ряду, то опять последний ряд будет неполным, причем в нем будет на 6 саженцев больше, чем в последнем ряду при посадке по 9 берез. Сколько всего было саженцев?

Эту задачу легко решить подбором (затратив менее 100 попыток:)). А попробуйте составить математическую формулу! (Пусть при посадке по A деревьев в ряд остается a в последнем ряду, B деревьев в ряд - b в последнем ряду, причем A-B=1, b-a=6).

Задача 10

Два путника нашли на дороге кошелек со 100 монетами. "Ура!"- воскликнул Семен Абрамович - "Каждому по 50 монет - неплохая прибавка к пенсии!". "Еще чего!" - возмутился Иосиф Моисеевич - "Я первый его увидел, все сто монет - мои!". Пока дело не дошло до драки, спорщики решили спросить совета у авторитетного Соломона Давидовича. "Хм-м..." - задумался Соломон Давидович - "Правильнее было бы оставить кошелек у себя, пока не объявится хозяин. Но не выйдет: кулаки то у обоих - ого-го! Какое бы ни было мое решение, недовольства не избежать. Надо придумать так, чтобы недовольство у обоих было одинаково, тогда есть шанс разойтись мирно. О, придумал!". Каково было Соломоново решение?

Upd 03.02.2023:

Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что задачи в основном - арифметические. Нахождение именно арифметического решения - процесс гораздо более интеллектуальный, в отличие от механического алгебраического. Как тут не вспомнить бессмертную классику:

«Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?»

.....................

— Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, — говорит он. — Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот, разделил... понимаете? Теперь, вот, надо вычесть... понимаете? Или, вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте...

.....................

— И без алгебры решить можно, — говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. — Вот, извольте видеть...Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.— Вот-с... по-нашему, по-неученому.

Вдобавок часто арифметические решения просто красивые.

Ответы и решения

Вы же все задачи решили и заглянули сюда чтобы просто сверить ответы, верно? ))

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Ответ: 55 саженцев берез.

Решения

Очевидно, что: а) берез меньше 100, б) когда сажали по 9 – в последнем ряду остался 1 саженец, по 8 – 7 саженцев (на 6 больше) в последнем ряду.

1 вариант решения:

Пусть всего N берез. N делится на A (9) с остатком а (1), N делится на B (8) с остатком b (7).

Сколько надо добавить к N, чтобы сумма делилась на B нацело? Очевидно, что (B-b). Пусть это число будет M = N + (B-b). Легко видеть, что при делении M на A (9) остаток будет равен a + (B-b). Попробуем найти M.

Какие числа делятся одновременно и на A и на B? Так как A и B взаимно простые, то это A*B*n, где n = (1, 2, ….).

Если A*B*n делится на А нацело, то A*B*n – B при делении на A даст остаток (A-B), т.е. 1. Чтобы получить остаток a + (B-b) нам надо из A*B*n вычесть число B несколько раз. Сколько? (a + (B-b)) раз.

Тогда M = A*B*n - B*(a + (B-b))

а значит N = M – (B-b) = A*B*n - B*(a + (B-b)) – (B-b) = 72*n – 16 – 1 = 72*n – 17, где n = (1, 2, ….).

Поскольку N < 100, то единственное допустимое значение при n=1: N = 55.

2 вариант решения:

Расположим саженцы в k горизонтальных рядов по 9 штук:

Общее количество: N = A*k + a

Возьмем последний вертикальный ряд и разместим его сверху (в горизонтальных рядах останется по 8 штук):

Очевидно, что эти березы могут лечь в несколько полных рядов и еще 6 (b-a) штук: k = B*n + (b-a), где n = (0, 1, 2, ...)

Тогда N = A*B*n + A*(b-a) + a = 72*n + 55, где n = (0, 1, 2, ...)

Единственное допустимое значение при n=0: N = 55.

Задача 10

Ответ: 25 и 75

Решение

Разумеется, Соломон Давидович недолго думал, он просто делал вид. Этот случай прямо описан в Талмуде. Первый спорщик хочет поделить деньги 50 / 50, а второй: 0 / 100. Оба спорщика согласны, что как минимум 50 монет должны достаться Иосифу Моисеевичу, спор идет только об оставшихся 50 монетах. А раз так, то их просто надо поделить поровну. Тогда Семен Абрамович получит 25 монет, Иосиф Моисеевич – 25 + 50 = 75 монет. Семен Абрамович получит на 25 монет меньше, чем хотел, и Иосиф Моисеевич на 25 меньше, чем хотел, таким образом, недовольство у них будет одинаково.

Неожиданно это решение связано с разделами современной и очень непростой математики – теории игр. Точно такой же принцип лежит в основе решения более интересной задачи из того же Талмуда – задачи о трех вдовах (легко гуглится).

Пусть умирает муж, у которого остается три вдовы. По брачному договору первая жена должна получить 100 монет, вторая - 200, третья - 300 монет. Как разделить наследство, если имущество мужа стоит менее 600 монет: 100, или 200, или 300?

Сразу приведу решение:

На первый взгляд принцип распределения совершенно непонятен. Однако в его основе лежит вполне логичный подход. Это решение имеет свое отражение в современной математике: Нуклеолус - решения кооперативных игр, основанные на минимизации степени неудовлетворённости выигрышем подмножеств участников игры. И действительно, если рассматривать любую пару женщин, при любом размере наследства, принцип распределения будет такой же как в первой задаче: равный раздел оспариваемой суммы! Как древние евреи смогли додуматься до такого? Такой подход, кстати, имеет целый ряд преимуществ при рассмотрении дел о банкротстве, когда сумма имущества банкрота меньше требований кредиторов.

Предыдущие задачи:

[После]Новогодние задачи

Как и в прошлый раз, прошу при написании ответов в комментариях прятать их под спойлер.

Желаю приятно провести время!

На этом всё. Как всегда, приветствуются замечания / дополнения / комментарии.

Некоторые из прочих моих публикаций

–

Специальные предложения

Комментарии

В избранное Подписаться на ответы

Свернуть все

1. Alxby 944 03.01.23 23:19 Сейчас в теме

Ответы и решения будут через месяц. Подписывайтесь:)

2. DrAku1a 1582 06.01.23 13:31 Сейчас в теме

Задача 8: 6 минут (почти всё - в уме): за 1 минуту они съедают 1/15 + 1/10 = 2/30+3/30 = 5/30 = 1/6 торта, значит весь торт съедят за 6 минут.

3. Alxby 944 06.01.23 16:59 Сейчас в теме

(2)Всё верно, но есть решение проще, без дробей)

4. DrAku1a 1582 06.01.23 18:27 Сейчас в теме

(3) Ну, я через "скорость", как обычно для физика))

5. Alxby 944 06.01.23 19:20 Сейчас в теме

(4)Тогда 7 задача - Ваша

6. DrAku1a 1582 08.01.23 14:28 Сейчас в теме

(5) Тут в уме сложнее решать, ответ 390 км.

7. Alxby 944 09.01.23 10:55 Сейчас в теме

(6)Верно. А решать в уме не сильно сложнее, так как числа те же, что и в 8 задаче

8. Jimbo 9 18.01.23 15:39 Сейчас в теме

50 кг на задачу 2 ответ

10. Alxby 944 18.01.23 15:46 Сейчас в теме

(8)Почти попали, но нет.

16. Jimbo 9 24.01.23 15:48 Сейчас в теме

(10) 5 тонн сорян. Если 99 % было воды, то сам огурец 1%. Чтоб это стало 2 % - это вот от 5 тонн

17. Alxby 944 24.01.23 16:16 Сейчас в теме

(16)+

9. Jimbo 9 18.01.23 15:42 Сейчас в теме

1*19-9 задача 5, или 1*(19)-9

11. Alxby 944 18.01.23 15:48 Сейчас в теме

(9)Как вариант - да (хотя мой вариант другой). А вторая часть, где между цифрами обязательно должен быть знак?

12. Jimbo 9 18.01.23 16:32 Сейчас в теме

390 км задача 7 (100 + 40 + 250)

13. Alxby 944 18.01.23 16:47 Сейчас в теме

(12)Верно. А почему (100 + 40 + 250) ? Если можно - в личку.

14. Jimbo 9 18.01.23 20:24 Сейчас в теме

(13)
(13) Автор сам не знает решения своих же задач? Составим систему уравнений , где х, y, z - отрезки в км,
x/100 + y/120 + z/150 = 3ч времени ушло туда, x/150 + y/120 + z /100 = 3.5ч обратно.

15. Alxby 944 18.01.23 20:41 Сейчас в теме

(14)Разумеется, автор знает решение своих задач))). Подразумевалось в первую очередь арифметическое решение, а не алгебраическое - система двух уравнений с тремя неизвестными, которую можно решать разными способами. Ни в арифметическом решении, ни в обоих способах решения алгебраической системы уравнений у меня не получается 100+40+250, поэтому у меня вопрос и возник. Вдруг Ваше решение проще чем мое?