Анализ Графа затрат. Процессы, кластеры, коэффициенты…

Вводная часть

Одним из преимуществ использования математических моделей в микроэкономике является то, что если для описания хозяйственной ситуации удалось «подобрать» адекватную математическую структуру, то далее становятся доступны и все теоретические наработки, связанные с анализом и вариантами использования данной математической структуры, сделанные математиками вне зависимости от прикладного контекста ее применения.

Это значит, что если для моделирования внутренних процессов экономических субъектов мы используем Графы затрат, то нам сразу становится доступна вся «мощь» теории графов. Далее останется только выбрать наиболее полезные для работы с Графами затрат ее положения и проинтерпретировать их в контексте нашей предметной области.

В статье будут рассмотрены такие полезные для анализа Графов затрат объекты, как процессы и кластеры, а также коэффициенты коммуникабельности и массивности центров затрат. Процедуры выделения процессов, кластеров и расчета значений данных коэффициентов базируются на использовании многих общих понятий теории графов, далее в статье мы рассмотрим интерпретацию каждого из них для нашей предметной области.

Процессы в Графах затрат

Процесс в Графе затрат определяется как подмножество центров затрат и инцидентных им дуг, формирующих потоки затрат на входе заданного центра затрат или группы центров затрат. Процессы далее будем обозначать следующим образом:

Process(ЦЗn,…,ЦЗm)

где: ЦЗn,…,ЦЗm – центры затрат, на которых заканчивается (финиширует) процесс

Рассмотрим пример наиболее очевидного использования процессов в Графах затрат. Учетным специалистам хорошо знакомо понятие вид экономической деятельности или сокращенно просто вид деятельности экономического субъекта. Это понятие используется для обозначения деятельности экономического субъекта по производству и последующей продаже определенной номенклатуры продукции (работ, услуг).

Решение многих учетных задач связано с умением выделять виды деятельности экономического субъекта. Например, это необходимо для анализа безубыточности отдельных видов деятельности или когда отдельные виды деятельности могут иметь особенности налогообложения, например, в части НДС (облагается, не облагается, разные ставки), что влечет за собой необходимость в так называемом раздельном учете НДС, и т.д.

Все подобные задачи предполагают получение конкретных численных результатов, поэтому общего понимания смысла термина вид деятельности экономического субъекта здесь будет недостаточно. Для решения таких учетных задач нужно уметь строить математические модели в виде последовательностей центров затрат и потоков затрат, связанных с процессом производства и продажи продукции (работ, услуг) в рамках конкретных видов деятельности экономического субъекта. Другими словами, виды деятельности экономического субъекта можно моделировать в Графах затрат с помощью процессов Process(ЦЗn,…,ЦЗm).

Рассмотрим пример выделения процессов в Графе затрат, представленном на Рис.1. В данном случае не требуется подробного описания хозяйственной деятельности экономического субъекта. Для данного примера вполне достаточно того, что центры затрат идентифицируются своими номерами и присутствуют два финишных центра затрат Расход-01 и Расход-02 для формирования себестоимости проданных услуг.

Можно сказать, что на Рис.1 представлена модель экономического субъекта, осуществляющего два вида деятельности. Себестоимость проданных услуг в рамках первого вида деятельности формируется на входе центра затрат Расход-01.

Себестоимость проданных услуг в рамках второго вида деятельности формируется на входе центра затрат Расход-02. Это значит, что в данном Графе затрат можно выделить два процесса – Process(Расход-01) и Process(Расход-02).

Определить финишные центры затрат для процессов довольно легко – на их входах формируются себестоимости проданной продукции (работ, услуг). А как выделить центры затрат и потоки затрат, которые сформировали эти себестоимости в рамках конкретных видов деятельности?

Здесь можно предложить следующую процедуру. Берем Расход-01 в качестве начального узла Графа затрат и проводим поиск в направлении обратных дуг, например с помощью алгоритмов поиска в ориентированных графах – поиск в ширину или поиск в глубину.

В результате такой процедуры мы выделим все последовательности центров затрат и потоков вторичных затрат, которые были задействованы при формировании себестоимости проданных услуг в рамках первого вида деятельности, то есть выделим Process(Расход-01). Затем повторим эту процедуру, взяв в качестве начального узла Расход-02 и выделим Process(Расход-02).  

На Рис.2 показаны этапы процедуры выделения Process(Расход-01).

На первом этапе фиксируем в качестве начального узла Расход-01. На втором этапе идем от Расход-01 в направлении обратной дуги и включаем в процесс ЦЗ-10. На третьем этапе идем от ЦЗ-10 в направлении обратной дуги и включаем в процесс ЦЗ-08. И наконец на четвертом этапе включаем в процесс последний центр затрат – ЦЗ-06, так как в направлении обратных дуг больше идти некуда. Теперь Process(Расход-01) сформирован и мы можем анализировать потоки затрат, относящиеся к первому виду деятельности экономического субъекта.

На Рис.3 представлены центры затрат и потоки затрат, формирующие себестоимость проданных услуг в рамках второго вида деятельности.

Мы не будем рассматривать процедуру выделения процесса Process(Расход-02) поэтапно поскольку этапов здесь достаточно много, а действия на каждом из них производятся однотипные и аналогичные тем, что производились для первого вида деятельности.

Интересным моментом здесь является то, что центры затрат {ЦЗ-06,ЦЗ-08} принимают участие сразу в обоих видах деятельности, они включены сразу в оба процесса, то есть процессы пересекаются. В практическом моделировании подобные ситуации встречаются довольно часто. Значительно реже можно встретить непересекающиеся процессы, когда центры затрат и потоки затрат каждого вида деятельности отделены друг от друга, то есть каждый процесс формирует свою компоненту связности Графа затрат.

Кластеры в Графах затрат

Кластер включает в себя выбранное пользователем с какой-либо целью подмножество центров затрат и инцидентных им дуг Графа затрат.

Причины, по которым пользователь может решить выделить кластер в Графе затрат могут быть различными, например – моделирование деятельности отдельного филиала экономического субъекта или его департамента, цеха, промышленной площадки и т.п.

Кластеры далее будем обозначать следующим образом:

Рассмотрим пример выделения кластера в Графе затрат, представленном на Рис.1. Предположим, что у экономического субъекта существует Филиал1 (без выделения в отдельное юридическое лицо). Это значит, что в Графе затрат можно выделить в кластер Cluster1 часть центров затрат и потоков вторичных затрат, моделирующих хозяйственную деятельность Филиала1. В нашем примере Филиал1 представлен центрами затрат ЦЗ-01 и ЦЗ-03.

На первом этапе выделения кластера Cluster1 (Рис.4) найдем для ЦЗ-01 подмножество соседних центров затрат и подмножество инцидентных дуг. На втором этапе повторим эту процедуру для ЦЗ-03. Можно было бы выполнить эти процедуру за один этап сразу для двух центров затрат, но в учебных целях было решено это сделать поэтапно.

В результате в Графе затрат был выделен кластер, включающий в себя:

{ЦЗ-01,ЦЗ-03} – подмножество центров затрат кластера

{01-03,03-01} – подмножество внутренних дуг кластера, моделирующих потоки вторичных затрат внутри Филиала1, то есть соединяющие между собой центры затрат только самого кластера. В данном случае для краткости начало и/или конец дуги обозначаются просто номером центра затрат. Например, 01-03 означает дугу с началом в ЦЗ-01 и концом в ЦЗ-03

{04-01} – подмножество входящих дуг кластера, то есть потоков вторичных затрат, начинающихся в центрах затрат, не принадлежащих кластеру, и заканчивающихся в центрах затрат кластера. В данном случае такой поток вторичных затрат всего один, вместе с первичными затратами на входах ЦЗ-01 и ЦЗ-03 он формируют общую сумму входящих затрат Филиала1 (см. бюджет затрат Филиала1 на Рис.4)

{01-02,01-05,01-07,03-05,03-07} – подмножество исходящих дуг кластера, то есть потоков вторичных затрат, начинающихся в центрах затрат кластера, и заканчивающихся в центрах затрат, не принадлежащих кластеру. Эти потоки вторичных затрат моделируют процесс оказания Филиалом1 услуг (см. Услуги Филиала1 на Рис.4) другим центрам затрат. Поскольку в нашем примере в Филиале1 отсутствуют затраты в незавершенном производстве, то общая сумма входящих затрат – 315,93р равна общей сумме исходящих затрат – 315,93р.

Коэффициенты коммуникабельности и массивности

Рассмотрим коэффициенты, позволяющие дать количественные оценки некоторым свойствам центров затрат в части активности их участия в структуре Графа затрат и их массивности. Для оценки активности центра затрат введем понятие коммуникабельности, т.е. способности к установлению связей с остальными центрами затрат Графа затрат. Массивность центра затрат характеризуется отношением стоимости его первичных затрат («массы ЦЗ») к общей стоимости первичных затрат («общей массы всех ЦЗ») экономического субъекта за исследуемый период.

Но сначала напомним (Рис.5) о других полезных количественных характеристиках центров затрат и Графов затрат в целом, тем более что они понадобятся далее для расчета коэффициентов коммуникабельности.

Как уже отмечалось во вводной части, как только мы решили использовать Графы затрат для моделирования процессов формирования себестоимости, то нам сразу стала доступна и вся «мощь» теории графов, осталось только понять каким образом ее положения можно интерпретировать в контексте нашей предметной области.

Например, умея находить порядок (NV=12) и число связей (NE=23) Графа затрат на Рис.5, можно уже говорить о некотором варианте размера модели для расчета себестоимости, можно по данным показателям сравнивать эту модель с другими моделями.

На Рис.5 выделен для анализа ЦЗ-01. Что значит выделен? В данном случае ЦЗ-01 показан вместе с подмножеством соседних центров затрат, в которое входят одновременно как источники затрат, от которых ЦЗ-01 получает вторичные затраты, так и получатели затрат, которым ЦЗ-01 отдает вторичные затраты.

Также на Рис.5 для ЦЗ-01 можно выделить следующие подмножества:

подмножество инцидентных дуг, то есть входящих в него и исходящих из него потоков вторичных затрат. Мощность подмножества инцидентных дуг, то есть общее число инцидентных дуг ЦЗ-01 характеризуется его степенью DS=6

подмножество исходящих дуг, то есть исходящих из ЦЗ-01 потоков вторичных затрат. Мощность подмножества исходящих дуг ЦЗ-01 характеризуется его полустепенью исхода DOUT=4

подмножество входящих дуг, то есть входящих в ЦЗ-01 потоков вторичных затрат. Мощность подмножества входящих дуг ЦЗ-01 характеризуется его полустепенью захода DIN=2

Теперь можно рассмотреть четыре основных коэффициента, позволяющих дать количественные оценки уровням коммуникабельности центров затрат в Графе затрат, а также коэффициент массивности:

KV(ЦЗi)=NADJ(ЦЗi)/(NV–1) – коэффициент коммуникабельности по центрам затрат определяет какая доля из всего числа центров затрат Графа затрат, за исключением рассматриваемого центра затрат, входит в подмножество его соседей. Диапазон изменения значений коэффициента равен [0..1]. Если коэффициент равен 0-лю, то центр затрат считается изолированным. Если коэффициент равен 1-це, то все центры затрат являются соседями данного центра затрат, что в практическом моделировании маловероятно.

KE(ЦЗi)=DS(ЦЗi)/NE – коэффициент коммуникабельности по связям определяет какая доля из всего числа дуг Графа затрат инцидентна центру затрат. Диапазон изменения значений коэффициента равен [0..1]. Если коэффициент равен 0-лю, то центр затрат считается изолированным, в него не поступают и из него не выходят потоки вторичных затрат, но на его вход могут поступать первичные затраты. Если коэффициент равен 1-це, то через центр затрат проходят абсолютно все потоки вторичных затрат, что конечно, маловероятно.

KOUT(ЦЗi)=DOUT(ЦЗi)/NE – коэффициент коммуникабельности по выходу определяет какую долю из числа связей Графа затрат составляют дуги, исходящие из центра затрат. Диапазон изменения значений коэффициента равен [0..1]. Если коэффициент равен 0-лю, то центр затрат не отдает потоки вторичных затрат другим центрам затрат. Такой центр затрат является либо изолированным, либо стоком. Если коэффициент равен 1-це, то все дуги Графа затрат являются исходящими из данного центра затрат. В практическом моделировании это маловероятный случай.

KIN(ЦЗi)=DIN(ЦЗi)/NE – коэффициент коммуникабельности по входу определяет какую долю из всего числа связей Графа затрат составляют дуги, поступающие на вход центра затрат. Диапазон изменения значений коэффициента равен [0..1]. Если коэффициент равен 0-лю, то центр затрат не получает потоки вторичных затрат от других центров затрат. Такой центр затрат является либо изолированным, либо истоком. Если коэффициент равен 1-це, то все дуги Графа затрат являются входящими в данный центр затрат. В практическом моделировании это маловероятный случай.

Для оценки массивности центров будем использовать коэффициент:

KPC(ЦЗi)=PC(ЦЗi)/PCS – коэффициент массивности по первичным затратам без учета НЗП определяет долю стоимости первичных затрат на входе центра затрат в общей стоимости всех первичных затрат исследуемого периода. Диапазон изменения значений коэффициента равен [0..1]. Если коэффициент равен 0-лю, то в исследуемом периоде первичные затраты на вход центра затрат не поступали. Например, для класса центров затрат, моделирующих готовую продукцию на складе это стандартный случай, как и для центров затрат класса Расходы. Если коэффициент равен 1-це, то все первичные затраты в исследуемом периоде поступили только в этот центр затрат.

Рассчитаем значения вышерассмотренных коэффициентов для центров затрат нашего Графа затрат.

В таблице на Рис.6 видно, что самым коммуникабельным по центрам затрат и по связям является ЦЗ-05. Более 63% центров затрат в Графе затрат являются соседями ЦЗ-01, а 30% от всех потоков вторичных затрат проходят через него. Причем входящих потоков вторичных затрат в ЦЗ-01 гораздо больше (DIN=5) чем исходящих (DOUT=2) из него.

А вот с точки зрения стоимости первичных затрат ЦЗ-01 не является самым «массивным», его доля в общей стоимости первичных затрат составляет чуть более 9%, в то время как на вход ЦЗ-10 поступило более 18% от общей стоимости первичных затрат.

Центры затрат Расход-01 и Расход-02 являются стоками, так как их коэффициенты коммуникабельности по выходу равны 0-лю. Центр затрат ЦЗ-06 является истоком, его коэффициент коммуникабельности по входу равен 0-лю.

Выводы

В статье Профессиональное мировоззрение учетного специалиста (ч.1). Наука или не наука? была рассмотрена идея о том, что профессиональное мировоззрение учетного специалиста должно базироваться на научном знании, а бухгалтерский учет по существу занимается построением научной (математической) модели хозяйственной жизни экономического субъекта.

Любое научное знание, в том числе и о хозяйственной жизни экономического субъекта, требует использования какой-либо математической (чистой) структуры вместе с описанием ее работы с помощью соответствующей теории.

Для моделирования движения потоков затрат «внутри» экономического субъекта используются Графы затрат, а значит у учетного специалиста появляется возможность для описания процесса расчета себестоимости использовать любые положения теории графов, которые покажутся ему полезными.

Как было показано в данной статье, умение выделять в Графе затрат процессы и кластеры может существенно облегчить анализ себестоимости, например, в разрезе видов деятельности и/или для отдельных подразделений и филиалов, а расчет коэффициентов коммуникабельности и массивности позволит обратить внимание на наиболее «интересные» центры затрат с точки зрения их влияния на себестоимость продукции (работ, услуг).