Многосторонние взаимозачеты – часть 2.

Многосторонние взаимозачеты – часть 2.

МАШКОВ Сергей Алексеевич

От автора.

За опубликованием моей статьи «Многосторонние взаимозачеты – заблуждения и порядок осуществления расчетов» //infostart.ru/public/85656/ последовала оживленная дискуссия, в основном сводящаяся к обсуждению, возможно ли алгоритмизировать предложенный автором метод, насколько это сложно, и какова вероятность того, что если создать на основе идеи автора программный продукт, то он будет иметь коммерческий успех на рынке программного обеспечения. Результат этой дискуссии, насколько понял автор, таков:

(1) предложенный автором метод, по - видимому, поддается алгоритмизации,

(2) разработка отдельных блоков алгоритма для некоторых членов сообщества программистов 1С представляют определенные трудности,

(3) совсем не очевидно, что если программный продукт на основе идеи автора будет создан, то каждый предприниматель, каждая компания пожелают его приобрести. Более того, высказываются сомнения в том, что вообще этот программный продукт будет востребован на рынке программного обеспечения.

Кроме того, в своих комментариях некоторые читатели высказывали суждения и утверждения, которые автор считает ошибочными. Эти высказанные ошибочные положения, по мнению автора, обусловлены с одной стороны тем, что некоторые читатели недостаточно внимательно читали текст статьи так сказать «по диагонали»; с другой стороны – некоторые положения и допущения, которые автор считал очевидными, само собой разумеющимися, для некоторых читателей не являлись таковыми; с третьей стороны, возможно, некоторые важные для понимания моменты автором в статье были изложены недостаточно подробно.

В настоящем дополнении автор постарался дать ответы на все возникшие в ходе дискуссии недоразумения, а также дать алгоритм, разработка которого, как оказалось, представляет определенные трудности для некоторых из программистов.

 Односвязные и многосвязные множества участников многостороннего взаимозачета.

Автор приносит извинения перед теми читателями – бухгалтерами, многих из которых вероятно отпугивают такие математические термины, как множество, подмножество, граф, односвязный граф, многосвязный граф и т.д. Как вы сможете убедиться, если пересилите себя и продолжите чтение, ничего особо сложного в этой премудрости нет. В то же время я прошу прощения и у программистов, которым многое (а может быть даже все) из того, о чем будет речь идти ниже, хорошо знакомо.

Так как статья предназначена и для программистов, и для не программистов (даже в основном для не программистов, а для бухгалтеров, экономистов, топ – менеджеров, предпринимателей), то работу алгоритма, я буду объяснять на числовом примере. Для тех программистов, которые захотят реализовать этот алгоритм на 1С, этот числовой пример может явиться отладочными данными.

Пусть некоторое количество лиц (юридических или физических – для рассмотрения работы алгоритма неважно) решили провести многосторонний взаимозачет своих дебиторских и кредиторских задолженностей друг другу. Они собрались все вместе, и каждый представил список своих дебиторских и кредиторских задолженностей. Все числовые данные в этом примере произвольные. На основе этих данных был составлен общий список всех участников многостороннего взаимозачета и составлена таблица задолженностей – кто кому и сколько должен. Пусть оказалось, что общее количество участников – 22 (А1, А2, А3, … А22), а общее количество задолженностей – 26. Эти задолженности представлены в таблице 1.

Табл. 1

Итак, имеется множество участников многостороннего взаимозачета в количестве 22-х участников. Кроме того, имеется множество задолженностей в количестве 26. Все эти 26 задолженностей являются дебиторскими для участников, фигурирующих в колонке под наименованием «Дебиторы» и эти же 26 задолженностей являются кредиторскими, для участников, наименования которых приведены в колонке озаглавленной «Кредиторы».

Множество участников многостороннего взаимозачета будем называть односвязным, если его нельзя разбить на два подмножества таких, что ни один из участников первого подмножества не имеет ни дебиторской, ни кредиторской задолженности по отношению хоть к какому-то из участников второго подмножества. Соответствующее этому случаю множество задолженностей также будем называть односвязным.

Если множество участников многостороннего взаимозачета можно разбить на два подмножества таких, что ни один из участников первого подмножества не имеет ни дебиторской, ни кредиторской задолженности по отношению хоть к какому-то из участников второго подмножества, то такое множество участников будем называть двусвязным. Соответствующее этому случаю множество задолженностей также будет являться двусвязным.

Если множество участников многостороннего взаимозачета можно разбить на 3 подмножества таких, что ни один из участников первого подмножества не имеет ни дебиторской, ни кредиторской задолженности по отношению хоть к какому-то из участников и второго, и третьего подмножества, и ни один из участников второго подмножества не имеет ни дебиторской, ни кредиторской задолженности по отношению хоть к какому-то из участников третьего подмножества, то такое множество будем называть трехсвязным. Соответствующее этому случаю множество задолженностей также будет являться трехсвязным. И так далее.

В первой части своей упоминавшейся выше статьи я рассматривал и дал алгоритм определения задолженностей в результате проведения многостороннего взаимозачета для случая, когда множество участников многостороннего взаимозачета является односвязным. При этом я этого не указал явно, так как полагал, что, так как любое множество является или односвязным, или совокупностью односвязных множеств, то если дано решение для односвязного множества участников, то тем самым задача решена в общем случае. При этом автор полагал, что задача разложения произвольного множества на односвязные подмножества должна быть посильной для любого человека, причисляющего себя к сообществу программистов. Но в ходе дискуссии выяснилось, что эта задача является для некоторых из программистов слишком сложной, поэтому ниже приведен алгоритм ее решения.

Алгоритм разложения произвольного множества участников на односвязные подмножества

Итак, даны два множества - множество участников (А1, А2, А3, … А22) и множество задолженностей этих участников друг другу, представленных в таблице 1.

Нахождение 1-го односвязного подмножества

Шаг 1.

Начинаем формировать первое односвязное подмножество участников и соответствующее ему первое односвязное подмножество задолженностей. Для этого выделим 1-ю строку таблицы 1 и сформируем первое односвязное подмножество участников, состоящее пока только из 2-х элементов (А1 и А6). Первая строка соответствующего односвязного подмножества задолженностей состоит пока из одной задолженности, из одного элемента – строки 1 таблицы 2. Из таблицы 1 вычеркиваем строку 1, в смысле не удаляем, чтобы номера строк у оставшейся части таблицы не сбились, а зачеркиваем, или каким-либо другим образом отмечаем, что эта строка уже использована.

Табл.2

 Шаг 2.

Просматриваем в цикле все остальные строки таблицы 1, начиная со строки 2 и по 26, с целью нахождения такого элемента множества задолженностей, в котором или дебитор, или кредитор совпадает с элементом А1. Такой элемент нашелся. Это строка 15, в которой дебитор – А10, кредитор – А1. Добавляем элемент А10 в первое односвязное подмножество участников, которое теперь стало состоять из 3-х элементов (А1, А6 и А10). Соответственно, строку 15 таблицы 1 добавляем в таблицу 2, получая таблицу 3, и вычеркиваем эту строку 15 из таблицы 1.

В таблицах 2, 3 и всех последующих в первой колонке с наименованием «№» указан не номер по порядку в этой таблице, а номер строки в таблице 1, откуда была перемещена данная строка и помещена в эту таблицу.

Табл.3

Шаг 3.

После того, как в таблице 1 мы более не нашли среди не вычеркнутых строк ни одной задолженности, в которой или дебитором или кредитором был бы элемент А1, мы ищем опять  в цикле такую задолженность, в которой или дебитором или кредитором был бы следующий элемент нашего формируемого односвязного подмножества - элемент А6. Такая задолженность находится. Это строка 8 таблицы 1. Новых элементов в подмножество участников эта найденная задолженность не добавляет, поэтому эту строку 8 таблицы 1 добавляем в таблицу 3, получая таблицу 4, и вычеркиваем эту строку 8 из таблицы 1.

Табл.4

Шаг 4.

Так как среди не вычеркнутых строк таблицы 1 мы больше не нашли задолженности, дебитором или кредитором которой был бы участник А6, то выбираем для сравнения следующего участника нашего первого односвязного подмножества, а именно участника А10. Ищем опять  в цикле среди не вычеркнутых строк таблицы 1 такую задолженность, в которой или дебитором или кредитором был бы элемент А10. Таковой задолженности не находится.

Следовательно, один цикл окончен. Все. Одно односвязное подмножество участников найдено. Оно состоит из 3-х участников (А1, А6 и А10) и эти участники имеют друг по отношению к другу 3 задолженности, представленные в таблице 4.

Нахождение 2-го односвязного множества

Так как в таблице 1 еще не все строки вычеркнуты, то продолжаем поиск следующего (второго) односвязного подмножества участников и соответствующего им подмножества задолженностей.

Шаг 1*.

Начинаем формировать второе односвязное подмножество участников и соответствующее ему второе односвязное подмножество задолженностей. Для этого выделим 1-ю еще не вычеркнутую строку таблицы 1 – это будет строка номер 2 - и сформируем второе односвязное подмножество участников, состоящее пока только из 2-х элементов (А2 и А21). Первая строка соответствующего второго односвязного подмножества задолженностей состоит пока из одной задолженности, одного элемента – строки 2 таблицы 5. Из таблицы 1 вычеркиваем строку 2.

Табл. 5

Шаг 2*.

Просматриваем в цикле все остальные строки таблицы 1, начиная со строки 3 и по 26, пропуская зачеркнутые строки, с целью нахождения такого элемента множества задолженностей, в котором или дебитор, или кредитор совпадает с элементом А2. Таких элементов не нашлось.

Шаг 3*.

После того, как в таблице 1 мы более не нашли среди не вычеркнутых строк ни одной задолженности, в которой или дебитором или кредитором был бы элемент А2, мы ищем опять  в цикле такую задолженность, в которой или дебитором или кредитором был бы следующий элемент формируемого второго односвязного подмножества – участник А21. Таких задолженностей нашлось две. Это строка 14 и строка 26 таблицы 1. Эти найденные 2 задолженности добавили во второе односвязное подмножество участников два новых элемента – участников А9 и А5. Так что теперь, на этом этапе второе односвязное подмножество участников состоит уже из 4-х участников (А2, А21, А9 и А5). Во второе подмножество задолженностей – в таблицу 5 - добавляем эти две найденные строки, получая таблицу 6. Не забываем вычеркнуть из таблицы 1 эти две найденные строки 14 и 26.

Табл. 6

Шаг 4*.

После того, как в таблице 1 мы более не нашли среди не вычеркнутых строк ни одной задолженности, в которой или дебитором или кредитором был бы элемент А21, мы ищем опять  в цикле такую задолженность, в которой или дебитором или кредитором был бы следующий элемент этого нашего второго односвязного подмножества - элемент А9. Таких задолженностей нашлось три. Это строки 12, 13 и 20 таблицы 1. Строка 12 добавила во второе односвязное подмножество участников новый элемент – участника А18, а строка 20 добавила во второе односвязное подмножество участников новый элемент – участника А16. Так что теперь, на этом этапе второе односвязное подмножество участников состоит уже из 6-и участников (А2, А21, А9, А5, А18 и А16). Во второе подмножество задолженностей - добавляем эти три найденные строки, получая таблицу 7. Вычеркиваем из таблицы 1 эти три найденные строки 12, 13 и 20.

Табл. 7

Шаг 5*.

После того, как в таблице 1 мы более не нашли среди не вычеркнутых строк ни одной задолженности, в которой или дебитором или кредитором был бы элемент А9, мы ищем среди не вычеркнутых строк табл.1  такую задолженность, в которой или дебитором или кредитором был бы следующий элемент этого нашего второго односвязного подмножества - элемент А5. Нашлась всего две таких задолженностей – это строка 6 и строка 7 таблицы 1. Строка 6 добавила во второе односвязное подмножество участников новый элемент – участника А12, а строка 7 не добавила во второе односвязное подмножество участников новых элементов. Так что теперь, на этом этапе второе односвязное подмножество участников состоит уже из 7-х участников (А2, А21, А9, А5, А18, А16 и А12). Во второе односвязное подмножество задолженностей - добавляем эти две найденные строки, получая таблицу 8. Вычеркиваем из таблицы 1 эти две найденные строки 6 и 7.

Табл. 8

Шаг 6*.

Продолжая в том же духе, мы ищем среди не вычеркнутых строк таблицы 1 задолженность, у которой или дебитором или кредитором был бы следующий еще не испытанный элемент второго односвязного подмножества - элемент А18. Такого элемента не нашлось.

Шаг 7*.

Так как элементы второго односвязного подмножества еще не закончились и в таблице 1 еще остались не вычеркнутые строки, то продолжаем.

Ищем среди не вычеркнутых строк таблицы 1 задолженность, у которой или дебитором или кредитором был бы следующий еще не испытанный элемент второго односвязного подмножества - элемент А16. Нашелся всего один такой элемент – строка 18. Эта Строка 18 добавила во второе односвязное подмножество участников новый элемент – участника А14. Так что теперь на этом этапе второе односвязное подмножество участников состоит уже из 8-и участников (А2, А21, А9, А5, А18, А16, А12 и А14). Эти 8 участников связаны между собой 9-ю дебиторскими (и соответственно 9-ю кредиторскими) задолженностями, представленными в таблице 9.

Табл. 9

Продолжая в том же духе, мы ищем среди не вычеркнутых строк таблицы 1 задолженность, у которой или дебитором или кредитором были бы следующие еще не испытанные элементы второго односвязного подмножества – элемент А12, а затем элемент А14. Таковых элементов более не нашлось.

Следовательно, мы из первоначального множества участников многостороннего взаимозачета выделили второе односвязное подмножество участников, связанное дебиторскими и кредиторскими задолженностями, представленными в таблице 9.

Нахождение 3-го односвязного множества

Так как в таблице 1 у нас остались еще не вычеркнутые строки, то продолжаем выделять третье односвязное подмножество из первоначального множества участников многостороннего взаимозачета.

Шаг 1**.

Начинаем формировать третье односвязное подмножество участников и соответствующее ему третье односвязное подмножество задолженностей. Для этого выделим 1-ю еще не вычеркнутую строку таблицы 1 – это будет строка номер 3 - и сформируем второе односвязное подмножество участников, состоящее пока только из 2-х элементов (А3 и А19). Первая строка соответствующего второго односвязного подмножества задолженностей состоит пока из одной задолженности, из одного  элемента – строки 3 таблицы 10. Из таблицы 1 вычеркиваем строку 3.

Табл. 10

Шаг 2**.

Надеюсь, работа алгоритма уже достаточно ясна, и можно не описывать во всех подробностях дальнейшие действия. В результате, все те участники, которые фигурируют в оставшихся не вычеркнутыми строках таблицы 1, составляют 3-е односвязное подмножество участников многостороннего взаимозачета, а еще не вычеркнутые к шагу 1** строки таблицы 1 представляют задолженности этих участников.

Так что, нет ничего сложного в выделении из произвольного множества участников многостороннего взаимозачета односвязных подмножеств, если только заданы таблицы их задолженностей друг другу.

В каждом из односвязных подмножеств можно произвести многосторонний взаимозачет согласно методике, описанной в части 1.

Определение окончательных задолженностей

Первое односвязное подмножество.

Для первого односвязного подмножества, состоящего из 3-х участников (А1, А6 и А10), задолженности которого представлены таблицей 4, получаем единственное решение - один кредитор – участник А1 с кредиторской задолженностью в сумме 14 и  два дебитора – участники А6 и А10, каждый из которых имеет дебиторскую задолженность по 7 денежных единиц. Это решение представлено в табл. 11.

Табл. 11

Второе односвязное подмножество.

Для второго односвязного подмножества, состоящего из 8-и участников (А2, А21, А9, А5, А18, А16, А12 и А14), задолженности которого представлены таблицей 9, в результате проведенного взаимозачета получаем 3-х дебиторов (А2, А9 и А14) и 5 кредиторов (А21, А5, А12, А16 и А18), задолженности которых представлены в таблице 12

Табл. 12

В данном случае решение вопроса о том, какой дебитор сколько должен какому кредитору, не однозначно. Среди множества возможных решений всегда можно высказать суждения, в силу которых одно решение кто-то может считать по каким-то соображениям предпочтительнее другого. Для рассматриваемого примера одно из возможных решений может быть, например, таким, как представлено в табл. 13

Табл. 13

Общий экономический эффект от многостороннего взаимозачета

В предыдущей статье мы уже использовали интуитивное понятие экономического эффекта, не определяя его строго. Рассмотрим теперь этот вопрос более подробно.

Пример 1.

Возьмем для примера простейший 3-х сторонний взаимозачет: я – тебе, ты – ему, а он – мне.  В жизни этот случай мне представляется даже более распространенным, чем двухсторонний взаимозачет: ты – мне, я – тебе. Пусть «А» должен «В», «В»  должен «С», а «С» должен «А», причем каждый должник должен своему кредитору по  100 денежных единиц. У них две возможности: либо ждать, пока кто-то из них не накопит эти 100 денежных единиц, которые он отдаст своему кредитору, тот – своему и в итоге эти 100 денежных единиц вернутся к своему первоначальному хозяину, либо собраться втроем, сесть за стол переговоров и осуществить 3-х сторонний взаимозачет с подписанием всех необходимых документов. В данном случае суммы задолженностей одинаковы и никто никому ничего не должен. Очевидно, что в этом случае многосторонний взаимозачет проводить целесообразно, и он даст существенный экономический эффект.

Введем численную меру для экономического  эффекта. Рассчитаем суммарную дебиторскую (или кредиторскую) задолженность всех участников взаимозачета друг другу до проведения взаимозачета и после. В данном случае эти суммы равны 300 и 0. Определим разность между суммарной дебиторской  (или кредиторской) задолженностью до и после проведения взаимозачета, т.е. на сколько уменьшилась суммарная дебиторская (или кредиторская) задолженность участников взаимозачета. Отношение этой разности к первоначальной суммарной дебиторской (или кредиторской) задолженности и будем называть экономическим эффектом (ЭФ).

Для рассматриваемого примера  ЭФ = 100%.

Пример 2.

Для рассмотренного выше первого односвязного подмножества, состоящего из 3-х участников (А1, А6 и А10), задолженности которых представлены таблицей 4, суммарная дебиторская задолженность до проведения взаимозачета равна 924, а после проведения взаимозачета она равна 14. Экономический эффект равен

ЭФ = (924-14)/924*100% = 98,48%

Следовательно, проведение многостороннего взаимозачета для этих участников целесообразно.

Пример 3.

Рассмотрим опять трех участников, но теперь уже пусть их задолженности друг другу представлены таблицей  14

Табл. 14

Суммарная дебиторская (или кредиторская) задолженность всех трех участников друг другу до проведения взаимозачета равна 111, а после 99. Следовательно экономический эффект от многостороннего взаимозачета, проведенного между этими участниками будет равен

ЭФ = (111 – 99)/111*100%= 10,82%

Предоставляю самим участникам этого трехстороннего взаимозачета определить целесообразность проведения взаимозачета с таким экономическим эффектом.

Примечательно, что экономический эффект от проведения многостороннего взаимозачета можно определить еще до проведения самого многостороннего взаимозачета по таблице первоначальных задолженностей. Покажем это на примере второго односвязного подмножества участников, задолженности которых приведены в таблице 9.

Пример 4.

Суммарная дебиторская задолженность до проведения многостороннего взаимозачета равна 2818. Напомню, что после проведения многостороннего взаимозачета у каждого из участников останется или только дебиторская или только кредиторская задолженность, равная разности его суммарной дебиторской и кредиторской задолженностей всем остальным участникам взаимозачета.

Табл. 15

 Нетрудно видеть, что суммарная дебиторская (или кредиторская) задолженность после  проведения многостороннего взаимозачета будет равна 1239. Экономический эффект от проведения многостороннего взаимозачета для этих участников будет равен

ЭФ = (2818 – 1239)/2818*100% = 56,03%

Экономический эффект от многостороннего взаимозачета

для каждого отдельного участника

Выше мы рассматривали общий экономический эффект от проведения многостороннего взаимозачета. Но участие в многостороннем взаимозачете является сугубо добровольным. Целесообразно или не целесообразно, выгодно или не выгодно участие в многостороннем взаимозачете для каждого отдельного участника определяется тем, какова в результате окажется его суммарная задолженность после проведения многостороннего взаимозачета в сравнении с его суммарной задолженностью до проведения многостороннего взаимозачета.

Для отдельного участника также можно ввести понятие экономической эффективности многостороннего взаимозачета, определив ее как выраженный в процентах модуль отношения разности между максимумом из дебиторской и кредиторской задолженностями этого участника всем остальным участникам и его задолженностью после проведения взаимозачета к этому самому максимуму.

Для рассмотренного выше примера 1, где все три участника имели равные задолженности по 100 денежных единиц, экономический эффект для каждого участника равен также по 100%.

Для рассмотренного выше примера 2, для которого задолженности участников представлены таблицей 4, экономический эффект для каждого участника представлен в таблице 16

Табл. 16

Для рассмотренного выше примера 4, задолженности участников которых представлены таблицей 4, экономический эффект для каждого участника представлен в таблице 17

Табл. 17

Как видно из таблицы 17, участники А2, А12, А14 и А18 от взаимозачета ничего не выиграли. Какая у них была задолженность до проведения многостороннего взаимозачета, такая и осталась. Разве, что, может быть изменится контрагент, смотря по тому, какое из возможных решений выберут участники в качестве окончательного.

Конец 2-й части статьи Машкова С.А.